Basic of Differential Equation(1) - 미분 방정식이란?

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들어가며
Maxwell's equations,Schrödinger equation,wave equation, Bernoulli's Equation 등 자연과학도나 공학도 분들이라면 한 번쯤은 들어보셨을 이 방정식들은 다양한 공학 문제를 모델링하고 해결하는 데 사용되고 있습니다. 맥스웰 방정식을 통해 인류는 전기에 기반한 새로운 문명 도입이 가능해졌으며 파동 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등을 이용해 양자역학적 성질을 탐구하고 공학에 활용할 수 있게 되었고 베르누이 방정식을 통해 유체의 흐름을 이해하고 자동차, 비행기등의 효율적인 디자인이 가능해졌습니다. 이러한 방정식들 모두 도함수(Derivatives)가 포함된 미분 방정식이라는 점에서 공통점을 가지고 있죠. 이러한 미분 방정식은 다양한 문제를 공학적으로 모델링하고 그 해를 구함으로써 문제를 해결 할 수 있도록 도와주고 있습니다. 대중에게 친숙하고 대표적인 예가 바로 영화입니다. 오늘날 블록버스터 영화에는 CG(Computer Graphics)가 선택이 아닌 필수로 자리잡고 있습니다. 화려한 폭발 시퀀스나 물을 표현하는 유체 시퀀스 등은 미분 방정식의 힘을 빌리지 않으면 만들어 낼 수 없는 장면들이죠. 이 외에도 COVID 19의 확산 예측, 도시의 인구 증가율 예측 등 다양한 문제를 미분 방정식으로 모델링하여 해결하고 있습니다. 이번 글에서는 미분 방정식이 무엇인지와 미분 방정식의 해를 구하는 것에 있어서 제일 중요한 테크닉이 무엇인지에 대해 이야기를 하고자 합니다.

미분 방정식으로 탄생한 영화 '모아나'의 CG

 

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미분 방정식이란?
미분 방정식이란 도함수를 포함하고 있는 방정식을 의미합니다. $y$와 $y'$에 관한 식으로 이루어진 어떤 미분 방정식 $A$의 $y$와 $y'$의 자리에 $g$와 $g'$을 대입했을때 $A$가 성립한다면 $g$는 미분 방정식 $A$의 Solution(해)라고 이야기 합니다. 미분 방정식은 도함수의 종류에 따라 다음의 두 가지로 나눌 수 있습니다.

• Ordinary Differential Equation(상미분방정식) - 일변수 함수의 도함수를 가진 미분방정식
  • ex) $y'' = 3y' + x$, $\left ( \frac{d^2 y}{dx^2} \right )^4 = \frac{dy}{dx} + 5$
• Partial Differential Equation(편미분방정식) - 이변수 이상의 다변수함수의 도함수를 가진 미분방정식
  • ex) $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 5z$

미분방정식의 Order(계수)와 Degree(차수)
1. Order(계수) - 미분방정식의 최고계 도함수의 계수(몇번 미분했나?)
2. Degree(차수) - 미분방정식의 최고계 도함수의 차수

미분 방정식 $\left ( \frac{d^2 y}{dx^2} \right )^4 = \frac{dy}{dx} + 5$의 계수는 2이며 차수는 4 입니다.

미분방정식의 Solution
미분 방정식 $y' = y$의 해에 대해서 생각해봅시다. 미분해서 자기 자신이 나오는 $y$는 무엇이 있을까요? 대표적으로 $y = e^x$가 있습니다. 하지만 위 방정식을 만족하는 식이 $y = e^x$ 하나일까요? $y = 2e^x$, $y = 1000e^x$, $y = -\frac{34}{13}e^x$ 도 모두 $y' = y$의 해가 될 수 있다는 것은 쉽게 확인이 가능합니다. 이 방정식은 임의의 상수 c에 대해 다음의 식이 전부 해가 될 수 있다는 것을 확인할 수 있을 것입니다.

$y = ce^x$

이처럼 미분방정식은 한 개 이상의 해를 가질 수 있으며 때로는 위의 예처럼 무한 개의 해를 가질 수 있습니다. 이는 임의의 상수 c를 포함하는 한개의 식으로서 표현이 가능할 것입니다. 이렇듯 미분 방정식에 대해 임의의 상수를 포함하는 일반적인 해를 General Solution(일반해)라고 이야기합니다. 그리고 일반해의 상수 c에 임의의 값을 부여하여 얻는 해를 Particular Solution(특수해)라고 이야기 합니다. 위에서 이야기한 $y = ce^x$는 미분방정식  $y' = y$의 일반해이며 $y = 2e^x$, $y = 1000e^x$, $y = -\frac{34}{13}e^x$는 미분방정식 $y' = y$의 특수해가 됩니다. 미분방적식의 해에는 일반해와일 반해를 통해 파생되는 특수해 말고도 Singular Solution(특이해)라는 것도 존재할 때가 있지만 이는 논외로 하겠습니다.

Initial Value Problem(초기값 문제)
공학자들은 미분방정식의 일반해 보다 특정 조건을 만족하는 특수해를 구하는 것에 관심이 많이 있습니다. 초기조건, 어떤 점 $x_0$에서 $y(x)$가 특정 값 $y_0$를 가지는 조건을 만족하는 특수해를 구하는 문제를 초기값 문제라고 부릅니다. $y' = y$의 해 중에서 $y(0)=2$를 만족하는 특수해는 $y = 2e^x$라고 이야기할 수 있을 것입니다. 초기 조건 $y(x_0) = y_0$을 만족하는 미분방정식의 해를 구하는 방법은 추후 다루어 보도록 하겠습니다.

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마무리하며
오늘은 미분방정식이 무엇인지와 그와 관련한 여러 용어들을 알아보았습니다. 앞으로 이러한 미분방정식을 풀이하는 다양한 방법들에 대해 하나씩 글을 올릴 예정입니다. 앞으로 소개할 방법들을 이용해 미분방정식을 풀이하기 위해 적분을 매우 많이 이용할 것입니다. 적분은 미분방정식을 풀이하는 핵심 테크닉으로 가장 기본적인 미분방정식 풀이법인 separable ODE(변수 분리형)부터 Laplace Transform, Fourier Transform 등의 테크닉을 사용하기 위해서도 필수로 사용가능해야 할 테크닉입니다. 앞으로 소개할 미분 방정식 풀이를 이해하기 위해서 기본적인 적분 방법부터 부분 적분, 이상 적분, 치환 적분 방법 정도는 숙지를 해두시는 것을 추천합니다. 또 삼각함수 및 역삼각함수, 쌍곡선함수에 대한 개념도 가지고 계신다면 미분방적식 풀이법 이해에 큰 도움이 될 것입니다.